Question

直线x+y=n(n∈N^*)与x轴、y轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为a_n，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为b_n，（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）

（Ⅰ）求a₃和b₃的值；

（Ⅱ）求a_n及b_n的表达式；

（Ⅲ）对a_n个整点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总数为A_n，对b_n个整点用红、黄两色之一着色，其方法总数为B_n，试比较A_n与B_n的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）n=3时，直线x=0上有点（0，0）（0，1）（0，2）（0，3），直线x=1上有点（1，0）（1，1）（1，2），直线x=2上有点（2，0）（2，1），直线x=3上有点（3，0），所以a₃=1,b₃=4+3+2+1=10.

（Ⅱ）解：n=1时，b₁=3,a₁=0,n=2时，b₁=6,a₂=0,

    当n≥3时，b_n=(n+1)+n+(n-1)+…+2+1=,a_n=b_n-3(n+1)+3=,

    当n=1,2时也满足

    所以a_n=,b_n=(n∈N^*).

（Ⅲ）对于a_n个整点中的每一个点都有4种着色方法，故A_n=

    对于b_n个整点中的每一个点都有2种着色方法，故B_n=

==.

    当n=1,2,3,4,5,6,7,8时A_n＜B_n,

    当n≥9且n∈N^*时，A_n＞B_n.