Question

设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b．
（Ⅰ）若向量

m

=(a，b)，

n

=(1，-1)，求向量

m

与

n

的夹角为锐角的概率；
（Ⅱ） 记点P（a，b），则点P（a，b）落在直线x+y=n上为事件C_n（2≤n≤5，n∈N），求使事件C_n的概率最大的n．

Answer 1

分析：（I）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数需要解出，设出两个向量的夹角，根据夹角是一个锐角得到关系，列举出所有的事件数，得到概率．
（II）根据条件分别做出n在等于2，3，4，5时，对应的满足条件的概率，把几个概率值进行比较，得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设向量

m

与

n

的夹角为θ
因为θ为锐角
∴cosθ=

m • n

| m || n |

＞0，且向量

m

与

n

不共线，
∵a＞0，b＞0，

n

=(1，-1)，
显然

m

与

n

不共线，
∴

m

•

n

=a-b＞0，a＞b
随机取一个数a和b的基本事件有
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）
∴向量

m

与

n

的夹角为锐角的概率P=

1

6

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=2时，满足条件的概率P2=

1

6

当n=3时，满足条件的概率P3=

1

3

当n=4时，满足条件的概率P4=

1

3

当n=5时，满足条件的概率P5=

1

6

∴使事件C_n的概率最大的n值为3或4

点评：本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的精髓．