Question

已知椭圆+=1与双曲线-=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|=________．

Answer 1

m-p
分析：先椭圆+=1与双曲线-=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，得到m-n=p+q；再根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．
解答：因为椭圆+=1与双曲线-=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，
所以有：m-n=p+q；
设P在双曲线的右支上，左右焦点F₁、F₂：
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2 ①
|PF₁|-|PF₂|=2 ②
由①②得：|PF₁|=+，|PF₂|=m-．
∴|PF₁|•|PF₂|=m-p．
故答案为：m-p．
点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆+=1与双曲线-=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，得到m-n=p+q，属中档题．