Question

已知函数．
（I）判断函数f（x）的奇偶性；
（II）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（III）求函数f（x）在[2，4]上的最大和最小值．

Answer 1

解：（I）函数的定义域为{x|x≠0}，
对任意不等于0的实数f（-x）=
所以函数为奇函数
（II）f′（x）=1-
∵x＞1
∴
∴
∴f′（x）＞0
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数
（III）
由（II）知函数f（x）在[2，4]上是增函数
∴当x=2时，函数函数f（x）取得最小值为f（2）=
分析：（I）先求函数定义域，看是否关于原点对称，再探讨f（x）与f（-x）间的关系．若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数．
（II）用导数法，先求导，再分析在（1，+∞）上导数的正负．若导数大于零时则为增函数；若导数小于零时则为减函数．
（III）由[2，4]是（1，+∞）的真子集，则用（II）的单调性来求最值．若为增函数，则2，4分别对应最小值和最大值；若为减函数，则2，4分别对应最大值和最小值．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，要注意判断和证明是不同的，判断可用一些常用的结论，但证明奇偶性时只有定义法，证明单调性时要用定义法和导数法．同时还考查了求函数最值问题，在研究此类问题时，要注意先研究单调性．