Question

（2007•东城区一模）设A，B分别是直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的两个动点，并且|

AB

|=

20

，动点P满足

OP

=

OA

+

OB

．记动点P的轨迹为C．
（I） 求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（ I） 设P（x，y），A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)．由

OP

=

OA

+

OB

，知

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

，

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

，由|

AB

|=

20

，知(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20．由此能求出曲线C的方程．
（ II） 设N（s，t），M（x，y），则由

DM

=λ

DN

，可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．故x=λs，y=16+λ （t-16）．由M、N在曲线C上，知

s2 25 + t2 16 =1 λ2s2 25 + (λt-16λ+16)2 16 =1.

由此能求出实数λ的取值范围．

解答：解：（ I） 设P（x，y），
为A、B分别为直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的点，
故可设A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)．
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

，
∴

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

，…（4分）
又|

AB

|=

20

，
∴(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20．…（5分）
∴

5

4

y2+

4

5

x2=20．　
即曲线C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．…（6分）
（ II） 设N（s，t），M（x，y），
则由

DM

=λ

DN

，
可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．
故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）
∵M、N在曲线C上，
∴

s2 25 + t2 16 =1 λ2s2 25 + (λt-16λ+16)2 16 =1.

…（10分）
消去s得  

λ2(16-t2)

16

+

(λt-16λ+16)2

16

=1．
由题意知λ≠0，且λ≠1，
解得t=

17λ-15

2λ

．…（12分）
又|t|≤4，
∴|

17λ-15

2λ

|≤4．
解得  

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．
故实数λ的取值范围是

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．…（14分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出错．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．