Question

（2007•东城区一模）已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，b_n=

9

10

(n+2)(an-1)．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；  
（2）当n取何值时，{b_n}取最大值，并求出最大值；
（3）若

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

对任意m∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a_n，代入函数f（x）与g（x）的解析式化简得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0，所以两边除以a_n-1，得10（a_n+1-1）=9（a_n-1），而a₁-1=1，{a_n-1}就是首项为1，公比为

9

10

的等比数列．
（2）求出b_n的通项公式，然后研究{b_n}的单调性，从而求出n取何值时，b_n取最大值，以及最大值；
（3）设数列{

tn

bn

}，若

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

对任意m∈N^*恒成立，则数列{

tn

bn

}为递增数列，设其通项为c_n=

1

n+2

(

10t

9

)n为递增数列；那么对于任意的自然数n，我们都有c_n+1≥c_n，从而求出t的取值范围．

解答：证明：（1）由方程，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0
得：（a_n+1-a_n）×10×（a_n-1）+（a_n-1）²=0
整理得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0；
显然由a₁=2，则a_n显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以a_n-1；
得10×（a_n+1-a_n）+a_n-1=0．整理后得：10（a_n+1-1）=9（a_n-1），
a₁-1=1，{a_n-1}就是首项为1，公比为

9

10

的等比数列．
解：（2）将a_n-1=（

9

10

）^n-1代入bn=

9

10

(n+2)(an-1)得b_n=（

9

10

）ⁿ×（n+2）．
b_n+1-b_n=（

9

10

）ⁿ⁺¹×（n+3）-（

9

10

）ⁿ×（n+2）=（

9

10

）ⁿ×

7-n

10

．
∴{b_n}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减
∴当n取7或8，{b_n}取最大值，最大值为9×（

9

10

）⁷
（3）设数列{

tn

bn

}，若

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

对任意m∈N^*恒成立，
则数列{

tn

bn

}为递增数列，设其通项为c_n=

1

n+2

(

10t

9

)n为递增数列；
那么对于任意的自然数n，我们都有c_n+1＞c_n 显然我们可以得：

10t

9

＞

n+3

n+2

该不等式恒成立条件是左边的比右边的最大值还要大，就行取n=1．求得t＞

6

5

∴实数t的取值范围为（

6

5

，+∞）

点评：本题主要考查了等比数列的判定，以及数列的最值和数列的单调性的判定，是一道综合题，有一定的难度．