[题目]已知函数.其中是自然对数的底数.(1)求函数在点处的切线方程,(2)若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知函数.其中是自然对数的底数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得在点处的切线方程；

（2）令，然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值.

（1），，

∴，

又，

∴切线方程为，即.

（2）令，

，

①若，则在上单调递减，又，

∴恒成立，∴在上单调递减，又，

∴恒成立.

②若，令，

∴，易知与在上单调递减，

∴在上单调递减，，

当即时，在上恒成立，

∴在上单调递减，即在上单调递减，

又，∴恒成立，∴在上单调递减，

又，∴恒成立，

当即时，使，

∴在递增，此时，∴，

∴在递增，∴，不合题意.

综上，实数的取值范围是.

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