Question

3．设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• B． $[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$
• C． $（-∞，-\sqrt{2}）∪（\sqrt{2}，+∞）$
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围．

解答 解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx-sinx，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则f′（x₁）=a+cosx₁-sinx₁，f′（x₂）=a+cosx₂-sinx₂．
由曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，得
a²+[（cosx₁-sinx₁）+（cosx₂-sinx₂）]a+（cosx₁-sinx₁）（cosx₂-sinx₂）+1=0．
令m=cosx₁-sinx₁，n=cosx₂-sinx₂，
则m∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，n∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴a²+（m+n）a+mn+1=0．
△=（m+n）²-4mn-4=（m-n）²-4，
∴0≤（m-n）²-4≤4．
当m-n=$±2\sqrt{2}$时，m+n=0，
又a=$\frac{-（m+n）±\sqrt{（m-n）^{2}-4}}{2}$．
∴-1≤a≤1．
∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，
使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[-1，1]．
故选D．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答的关键在于由关于a的方程的根求解a的范围，是有一定难度题目．