Question

已知数列{a_n}，{b_n}分别是等差数列与等比数列，满足a₁=1，公差d＞0，且a₂=b₂，a₆=b₃，a₂₂=b₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意正整数n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…

cn

bn

=a_n+1成立，设{c_n}的前n项和为S_n，求证：S₂₀₁₅≥e²⁰¹⁵（e是自然对数的底数）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接根据已知条件建立方程组，求得数列的通项公式．
（Ⅱ）利用构造的新数列，根据通项公式求出数列的和，进一步求出结论成立．

解答： 解：（Ⅰ）因为a₂=1+d，a₆=1+5d，a₂₂=1+21d，且a₂，a₆，a₂₂是等比数列中连续三项，
所以：（1+5d）²=（1+d）（1+21d），由于d＞0
解得：d=3．
所以a_n=1+3（n-1）=3n-2，
又b₂=a₂=4，b_，3=a₆=16
所以q=4，b₁=4
所以：bn=4n-1
（Ⅱ）证明：因为

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1所以当n≥2时，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an
两式作差可得，

cn

bn

=3
所以：c_n=3b_n=3•4^n-1（n≥2），
当n=1时，c₁=b₁a₂=4，不满足上式，故cn=

4(n=1) 3•4n-1(n≥2)

于是S2015=4+3•41+3•42+…+3•42014=4+3（4¹+4²+…+4²⁰¹⁴）
=4²⁰¹⁵＞e²⁰¹⁵

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，等比数列前n项和公式的应用．属于基础题型．