Question

已知过定点M（0，4）的直线l与⊙C：（x+1）²+（y-3）²=4交于A、B两点．
（1）当弦AB最短时，求直线l的方程；
（2）若|

CA

+

CB

|=|

CA

-

CB

|，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题意得，点在圆的内部，故当弦AB和点M（0，4）与圆心C（-1，3）的连线垂直时，弦AB最短，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程，再化为一般式；
（2）确定

CA

⊥

CB

，C到直线AB的距离为

2

，再分类讨论，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）由题意，定点M（0，4）在圆C：（x+1）²+（y-3）²=4的内部，
故当弦AB和点M（0，4）与圆心C（-1，3）的连线垂直时，弦AB最短．
∵k_CM=

3-4

-1-0

=1，
∴弦AB的斜率为-1，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程为y-4=-1（x-0），
即x+y-3=0；
（2）∵|

CA

+

CB

|=|

CA

-

CB

|，
∴

CA

⊥

CB

，
∴C到直线AB的距离为

2

，
斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+4，即kx-y+4=0，
∴C到直线AB的距离为

|-k+1|

k2+1

=

2

，
∴k=-1，∴直线l的方程为x+y-4=0；
斜率不存在时，直线l的方程为x=0满足题意，
∴直线l的方程为x=0或x+y-4=0．

点评：本题考查点与圆的位置关系的判断，以及用点斜式求直线的方程，考查向量知识及点到直线的距离公式，属于中档题．