Question

【题目】已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|= |MN|，

∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，

∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．

当x=0时，也满足上式．

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．

（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0. ， ．

∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=﹣kQB，

∴ ，∴ ，化为8+y1y2=0．

直线PQ的方程为 ，

∴ ，化为 ，

化为 ，

y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，

∴直线PQ过 定点（1，0）

【解析】（1）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|= |MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2 ， 利用两点间的距离公式即可得出．（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0. ， ．利用角平分线的性质可得kPB=﹣kQB ， 可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为 ，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．