【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣2.
(1)求a1 , a2 , a3并由此猜想an的通项公式;
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式.
【答案】
(1)解:∵Sn=2an﹣2,
当n=1时,a1=2a1﹣2,解得a1=2.
当n=2时,a1+a2=2a2﹣2,解得a2=4.
当n=3时,a1+a2+a3=2a3﹣2,解得a3=8.
猜想:an=2n.
(2)解:当n=1时,显然猜想成立.
假设n=k时,猜想成立,即ak=2k.
则当n=k+1时,Sk+1=2ak+1﹣2.
∴Sk+ak+1=2ak+1﹣2,
∴2ak﹣2+ak+1=2ak+1﹣2,
∴ak+1=2ak=22k=2k+1.
∴当n=k+1时,猜想成立.
∴an=2n.
【解析】(1)分别令n=1,2,3代入条件式解出a1 , a2 , a3 , 根据前三项的特点猜想通项公式;(2)先验证n=1时猜想成立,假设n=k时猜想成立,利用条件式推导ak+1 , 得出n=k+1时猜想成立.
【考点精析】关于本题考查的数列的定义和表示和数学归纳法的定义,需要了解数列中的每个数都叫这个数列的项.记作an,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作an;数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设集合设U={x|﹣3<x<3,x∈Z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则A∪UB=( )
A.{1}
B.{1,2}
C.{2}
D.{0,1,2}
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f (2﹣x)=f(x)当x∈[0,1]时,f (x)=e﹣x , 若函数y=[f (x)]2+(m+l)f(x)+n在区间[﹣k,k](k>0)内有奇数个零点,则m+n=( )
A.﹣2
B.0
C.1
D.2
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