Question

设函数f（x）=-4x+b，不等式|f（x）|＜c的解集为（-1，2）
（Ⅰ）判断g（x）=

4x

f(x)

（x＞

1

2

）的单调性，并用定义证明；
（Ⅱ）解不等式

4x+m

f(x)

＞0

Answer 1

分析：由题设条件函数f（x）=-4x+b，不等式|f（x）|＜c可解出用参数表示的不等式的解集又已知不等式解集为（-1，2），利用集合相等可以得出参数的方程，由此可以求出参数b，c的值．
（1）本题解题格式是先判断出结论，再进行证明，由于本题要求用定义法证明，故按定义证明单调性证明步骤证明即可．
（2）将函数的解析代入，由于不等式中含有参数，且参数的取值对不等式的解集有影响，故须对参数分类讨论来解不等式．本题中的不等式是一个分式不等式，求解时常将其变为等价的整系数不等式求解．

解答：解：∵|-4x+b|＜c得

b-c

4

＜x＜

b+c

4

又∵|f（x）＜c|的解集为（-1，2）
∴

b-c 4 =-1 b+c 4 =2

得b=2（2分）

（Ⅰ）函数g（x）=

4x

2-4x

在（

1

2

，+∞）上为增函数（4分）
证明：设x₁＞x₂＞

1

2

则g（x₁）-g（x₂）=

2(x1-x2)

(1-2x1)(1-2x2)

∵x₁＞x₂＞

1

2

∴（1-2x₁）（1-2x₂）＞0，x₁-x₂＞0
∴g（x₁）-g（x₂）＞0即g（x₁）＞g（x₂）
∴函数g（x）=

4x

2-4x

在（

1

2

，+∞）上为增函数（6分）

（Ⅱ）由

4x+m

-4x+2

＞0得（x+

m

4

）（x-

1

2

）＜0（8分）
①当-

m

4

＞

1

2

，即m＜-2时，

1

2

＜x＜-

m

4

②当-

m

4

=

1

2

，即m=-2时，无解
③当-

m

4

＜

1

2

，m＞-2时，-

m

4

＜x＜

1

2

∴当m＜-2时，解集为（

1

2

，-

m

4

）
当m=-2时，解集为空集
当m＞-2时，解集为（-

m

4

，

1

2

）（12分）

点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，考查了通过同一性转换出方程求参数的值以及定义法证明不等式的单调性，解分式不等式等．用定义法证明单调性要注意做题步骤为设元，求差，变形，断号，定论，做题时不可漏项，分式不等式的解法通常转化为等价的整系数不等式求解，本题将分式不等式转化为整系数不等式，由于其对应方程一根与参数有关系，故需要用分类讨论的方法来对不等式进行分类讨论求解．