Question

13．在平面直角坐标系中，令$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），动点P从P₀（-1，2）出发，沿着与向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$相同的方向作匀速直线运动，速度为|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$|；另一动点Q，从Q₀（-2，-1）出发，沿着与向量3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$相同的方向作匀速直线运动，速度为|3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|；设P、Q在时刻t=0秒时分别在P₀、Q₀处，
（1）动点P和Q的运动速度大小分别是多少？
（2）当$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$时，t的值是多少？

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，1），$3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$=（3，2），利用向量数量积运算性质即可得出；
（2）设$\overrightarrow{{P}_{0}P}$=t$\sqrt{2}$$（\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）$，则$\overrightarrow{OP}$=（$\sqrt{2}$t-1，$\sqrt{2}t$+2），设$\overrightarrow{{Q}_{0}Q}$=$\sqrt{13}$t$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$，则$\overrightarrow{OQ}$=（3$\sqrt{13}$t-2，2$\sqrt{13}$t-1），可得$\overrightarrow{PQ}$），又$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=（-1，-3），当$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$时，则$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=0．

解答 解：（1）$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，1），$3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$=（3，2），
∴$|\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}|$=$\sqrt{2}$，|3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
（2）设$\overrightarrow{{P}_{0}P}$=t$\sqrt{2}$$（\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）$，则$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{P}_{0}}$+$\sqrt{2}$t（1，1）=（$\sqrt{2}$t-1，$\sqrt{2}t$+2），
设$\overrightarrow{{Q}_{0}Q}$=$\sqrt{13}$t$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$，则$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{O{Q}_{0}}$+$\sqrt{13}$t（3，2）=（3$\sqrt{13}$t-2，2$\sqrt{13}$t-1），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$3\sqrt{13}t-\sqrt{2}t$-1，2$\sqrt{13}$t-$\sqrt{2}$t-3），
又$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=（-1，-3），
当$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$时，
则$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=-（$3\sqrt{13}$t-$\sqrt{2}$t-1）-3（2$\sqrt{13}$t-$\sqrt{2}$t-3）=0，
解得t=$\frac{10}{9\sqrt{13}-4\sqrt{2}}$=$\frac{10（9\sqrt{13}+4\sqrt{2}）}{1021}$，
∴当$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$时，t=$\frac{10（9\sqrt{13}+4\sqrt{2}）}{1021}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．