Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{（n+1）{a_n}}}{2n}$，（n∈N^*），则{a_n}的通项公式为 a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{{（n+1）{a_n}}}{2n}$变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{n+1}{n}$，从而利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{（n+1）{a_n}}}{2n}$，（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{1}{2}•\frac{n-1}{n-2}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}•\frac{2}{1}$，
累乘可知：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$•n，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
故答案为：$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．