Question

3．已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a_n和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在$a_n^2={S_{2n-1}}$中，令n=1，n=2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a_n，再利用“裂项求和”可得T_n．
（2）对n分类讨论，利用基本不等式的性质与数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）在$a_n^2={S_{2n-1}}$中，令n=1，n=2，
得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}^2={S_1}\\{a_2}^2={S_3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}^2={a_1}\\{（{a_1}+d）^2}=3{a_1}+3d\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$． 
（2）①当n为偶数时，要使不等式$λ{T_n}＜n+8•{（-1）^n}$恒成立，
即需不等式$λ＜\frac{（n+8）（2n+1）}{n}=2n+\frac{8}{n}+17$恒成立．
∵$2n+\frac{8}{n}≥8$，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25． 
②当n为奇数时，要使不等式$λ{T_n}＜n+8•{（-1）^n}$恒成立，
即需不等式$λ＜\frac{（n-8）（2n+1）}{n}=2n-\frac{8}{n}-15$恒成立．
∵$2n-\frac{8}{n}$是随n的增大而增大，
∴n=1时$2n-\frac{8}{n}$取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21． 
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．