Question

18．关于x的方程lg（ax）lg（ax²）=4有两个都大于1的不相等的实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则进行化简，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可．

解答 解：要使对数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{ax＞0}\\{a{x}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
则a＞0，且x＞0，
由lg（ax）lg（ax²）=4得（lga+lgx）（lga+lgx²）=4，
即（lga+lgx）（lga+2lgx）=4，
即lg²a+2lgxlga+lgxlga+2lg²x=4，
即2lg²x+3lgalgx+lg²a-4=0，
∵方程lg（ax）lg（ax²）=4有两个大于1的解，
∴设t=lgx，则x＞1，
∴t＞0，
即方程2t²+3lgat+lg²a-4=0有两个正根，
设f（t）=2t²+3lgat+lg²a-4，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{△=9l{g}^{2}a-4（l{g}^{2}a-4）≥0}\\{f（0）=l{g}^{2}a-4＞0}\\{-\frac{3lga}{2×2}＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{5l{g}^{2}a+16≥0}\\{lga＞2或lga＜-2}\\{lga＜0}\end{array}\right.$，
即lga＜-2=lg$\frac{1}{100}$，
解得0＜a＜$\frac{1}{100}$，
故a的取值范围为（0，$\frac{1}{100}$）．

点评 本题主要考查对数的运算性质，结合换元法利用一元二次函数根与系数之间的关系是解决本题的关键．