Question

7．已知在△ABC中，BC=a，AB=c，且$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{\sqrt{2}c-b}{b}$．求A的值．

Answer 1

分析 已知等式左边利用同角三角函数间基本关系化简，右边利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数．

解答 解：已知等式左边$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$，右边由正弦定理化简得：$\frac{\sqrt{2}c-b}{b}$=$\frac{\sqrt{2}sinC-sinB}{sinB}$，
即$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{\sqrt{2}sinC-sinB}{sinB}$，
整理得：sinAcosB=$\sqrt{2}$sinCcosA-sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=$\sqrt{2}$sinCcosA，
整理得：sin（A+B）=sinC=$\sqrt{2}$sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则A=45°．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．