Question

3．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）是否存在m∈R，使得当f（x）=-a成立时，f（m+3）为正数，证明你的结论； 
（2）求证：方程式f（x）=g（x）的两根都小于2．

Answer 1

分析 （1）由a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证f（x）的图象与x轴有2个交点，由条件知方程的一根为1，另一根满足-2＜x₂＜0．由于f（m）=-a＜0，可知m∈（-2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立．
（2）方程f（x）-g（x）=0得到方程为一元二次方程设出两解，利用公式法求出两解，判断其小于2即可．

解答 （1）解：因为a+b+c=0，a＞b＞c，
所以a＞0，且c＜0，
因此ac＜0，
所以△=b²-4ac＞0，
因此f（x）的图象与x轴有2个交点．
所以方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x₁和x₂，
因为f（1）=0，
所以f（x）=0的一根为x₁=1，
因为x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
所以x₂=-$\frac{b}{a}$-1=$\frac{c}{a}$，
因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以-2＜x₂＜0．
因为要求f（m）=-a＜0，
所以m∈（x₁，x₂），
因此m∈（-2，1），
则m+3＞1，
因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；
所以f（m+3）＞f（1）=0成立．
（2）证明：由方程f（x）-g（x）=0得：ax²+bx+c-（-bx）=0即ax²+2bx+c=0
因为由（1）得△=4b²-4ac＞0 则方程有两个不同的解设为x₁和x₂，
两解=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-ac}}{a}$，
又因为a+b+c=0可得：两解-2=$\frac{c-a+\sqrt{{b}^{2}-ac}}{a}$＜0
所以方程f（x）-g（x）=0的两根均小于2得证．

点评 本题以二次函数为载体，考查方程根的探求，考查函数值的确定及函数的零点问题，考查了函数与方程的综合应用，有一定的综合性．