Question

8．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n，且S_n+1，S_n，S_n-1（n＞1）分布是直线l上的点A，B，C的横坐标，$\overrightarrow{AB}=\frac{{2{a_n}+1}}{a_n}\overrightarrow{BC}$，设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判断数列{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论；
（2）设${C_n}=\frac{{{4^{\frac{{{b_{n+1}}-1}}{n+1}}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，证明：C₁+C₂+C₃+…+C_n＜1．

Answer 1

分析 （1）运用向量共线的坐标表示和构造等比数列的思想，由等比数列的通项公式，即可得到；
（2）求出b_n的通项，以及c_n，并拆成差的形式，再由裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．

解答 证明：（1）由题意得A，B，C三点共线，
则$\frac{{{S_{n+1}}-{S_n}}}{{{S_n}-{S_{n-1}}}}=\frac{{2{a_n}+1}}{a_n}$，故a_n+1=2a_n+1，
所以a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
则${a_n}+1={2^n}$，所以${a_n}={2^n}-1（{n∈{N^*}}）$；
（2）证明：由${a_n}={2^n}-1$及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n，
知b_n+1=b_n+n，∴${b_n}=1+\frac{{n（{n-1}）}}{2}$，
则${C_n}=\frac{{{4^{\frac{{{b_{n+1}}-1}}{n+1}}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{2^n}{{（{{2^n}-1}）（{{2^{n+1}}-1}）}}=\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以$\sum_{i=1}^n{{C_i}=（{\frac{1}{2-1}-\frac{2}{{{2^2}-1}}}）+（{\frac{1}{{{2^2}-1}}-\frac{1}{{{2^3}-1}}}）+…+（{\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}}）}$
=$1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}＜1$．

点评 本题考查向量共线的坐标表示，以及等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和以及不等式的性质，属于中档题．