【题目】过抛物线y＝
焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若△ABC为正三角形，则其边长为
A. 11 B. 13 C. 14 D. 12
【答案】D
【解析】
设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，结合等边三角形的性质和抛物线的弦长公式整理计算即可求得最终结果.
抛物线
焦点为(0,1)，设
，线段AB的中点
，
很明显直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线方程为y=kx+1，
由
,消y可得x24kx4=0，
∴x1+x2=4k，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，
∴|AB|=y1+y2+2=4k2+4，
∴x0=2k,y0=2k2+1，
∴D(2k,2k2+1)，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y2k21=
(x2k)，
即y=x+2k2+3，令y=1,则x=2k3+4k，∴C(2k3+4k,1)
∴点C到直线AB的距离
，
∵△ABC为正三角形，∴
，
∴
，
整理可得k2=2，∴|AB|=4k2+4=12.
本题选择D选项.
期末1卷素质教育评估卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知f（x）=ex﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）
（1）设f′（x）为f（x）的导函数，求f′（x）的递增区间；
（2）当a＞0时，证明：f′（x）的最小值小于零；
（3）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．
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【题目】
袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．
（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；
（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．
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【题目】下列四个命题中，真命题的序号有 .（写出所有真命题的序号）
①若
，则“
”是“
”成立的充分不必要条件；
②命题“
使得
”的否定是“
均有
”；
③命题“若
，则
或
”的否命题是“若
，则
”；
④函数
在区间
上有且仅有一个零点.
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【题目】已知函数
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）求在区间
上的最小值.
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
.
【解析】（Ⅰ）
.
令
，得
.
与
的情况如上：
所以，的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（Ⅱ）当
，即
时，函数在上单调递增，
所以在区间上的最小值为
.
当
，即
时，
由（Ⅰ）知在
上单调递减，在
上单调递增，
所以在区间上的最小值为
.
当
，即
时，函数在上单调递减，
所以在区间上的最小值为
.
综上，当时，的最小值为
；
当时，的最小值为
；
当时，的最小值为
.
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】已知抛物线
的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点
为抛物线
上一点.
（1）求
的方程；
（2）若点
在
上，过
作
的两弦
与
，若
，求证: 直线
过定点.
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【题目】已知定义在R上的单调函数f（x）满足对任意的x1 ， x2 ， 都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）成立．若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）=0，则 
的最小值为 ．
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【题目】在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是BC，A1B1的中点． 
（1）求证：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB1=60°，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值．
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【题目】已知定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）+f（x）＜0，设a=f（m﹣m2），b=e 
f（1），则a，b的大小关系是（ ）
A.a＞b
B.a＜b
C.a=b
D.a，b的大小与m的值有关
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【题目】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程 
（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+ 
）=3 
，射线OM：θ= 与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
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