Question

6．已知过点M（1，0）的直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$交于两点A、B，且$\overline{AM}=2\overline{MB}$，则直线l的斜率是±$\frac{\sqrt{15}}{6}$．

Answer 1

分析 设直线l的方程为：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得：（m²+4）y²+2my-3=0．由$\overline{AM}=2\overline{MB}$，可得y₁=-2y₂．联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2m}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}=-2{y}_{2}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：设直线l的方程为：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（m²+4）y²+2my-3=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$．
∵$\overline{AM}=2\overline{MB}$，
∴0-y₁=2（y₂-0），
即y₁=-2y₂．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2m}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}=-2{y}_{2}}\end{array}\right.$，解得m²=$\frac{12}{5}$．
∴$m=±\sqrt{\frac{12}{5}}$，
∴直线l的向斜率k=$\frac{1}{m}$=±$\frac{\sqrt{15}}{6}$．
故答案为：±$\frac{\sqrt{15}}{6}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算、直线斜率，考查了推理能力与计算能力，属于难题．