Question

如图，A、B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设∠COA=α．
（1）当点A的坐标为(

3

5

，  

4

5

)时，求sinα的值；
（2）若0≤α≤

π

2

，且当点A、B在圆上沿逆时针方向移动时，总有∠AOB=

π

3

，试求BC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的点的坐标计算角的三角函数值，注意所给的点的特点，本题是一个在单位圆上的点，那么，角的三角函数值就可以直接在坐标上体现．
（2）根据边的旋转得到角的大小，应用余弦定理表示出要求最值的量，整理变化用三角函数表示，根据所给的角的范围，写出要求的量的范围，得到结果．

解答：解：（1）∵A点的坐标为(

3

5

，  

4

5

)，
根据三角函数定义可知x=

3

5

，y=

4

5

，r=1，
∴sinα=

y

r

=

4

5

．
（2）∵∠AOB=

π

3

，∠COA=α，
∴∠COB=α+

π

3

．
由余弦定理得BC²=OC²+OB²-2OC•OBcos∠BOC=1+1-2cos(α+

π

3

)=2-2cos(α+

π

3

)．
∵0≤α≤

π

2

，
∴

π

3

≤α+

π

3

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤cos(α+

π

3

)≤

1

2

．
于是1≤2-2cos(α+

π

3

)≤2+

3

，
即1≤BC2≤2+

3

，
即1≤BC≤

2+ 3

．
∴BC的取值范围是[1，  

2+ 3

]．

点评：本题是一个解三角形的问题，题目用到余弦定理表示边长，用余弦定理求解三角形的边和角，题目运算量较大，是一个综合问题，可以作为高考题的一问出现．