(本小题满分14分)
如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;
(Ⅱ)求证:平面A1ACC1⊥平面B1BDD1;
(Ⅲ)求二面角A-BB1-C的大小(用反三角函数值表示).
(Ⅰ)A1C1与AC共面,B1D1与BD共面
(Ⅱ)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1
(Ⅲ)二面角的大小为
【解析】解法1(向量法):
以为原点,以
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
如图,
则有.
(Ⅰ)证明:
.
.
与
平行,
与
平行,
于是与
共面,
与
共面.
(Ⅱ)证明:,
,
,
.
与
是平面
内的两条相交直线.
平面
.
又平面过
.
平面
平面
.
(Ⅲ)解:.
设为平面
的法向量,
,
.
于是,取
,则
,
.
设为平面
的法向量,
,
.
于是,取
,则
,
.
.
二面角
的大小为
.
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:平面
,
平面
.
,
,平面
平面
.
于是
,
.
设分别为
的中点,连结
,
有.
,
于是.
由,得
,
故,
与
共面.
过点作
平面
于点
,
则,连结
,
于是,
,
.
,
.
,
.
所以点在
上,故
与
共面.
(Ⅱ)证明:平面
,
,
又(正方形的对角线互相垂直),
与
是平面
内的两条相交直线,
平面
.
又平面过
,
平面
平面
.
(Ⅲ)解:直线
是直线
在平面
上的射影,
,
根据三垂线定理,有.
过点在平面
内作
于
,连结
,
则平面
,
于是,
所以,是二面角
的一个平面角.
根据勾股定理,有.
,有
,
,
,
.
,
,
二面角的大小为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=
,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点(
)在函数
的图像上,其中
=
.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求
及数列{
}的通项公式;
(3)记,求数列{
}的前n项和
,并证明
.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天(
)的销售价格(单位:元)为
,第
天的销售量为
,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第
天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点
处的切线与直线
平行.
⑴ 求,
满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范围;
⑶ 证明:(
)
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