Question

（2012•宣城模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，有2a_n=S_n+n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设f（n）=n² （n∈N^*），试比较S_n与f（n）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过已知条件构造新数列，求出新数列的通项公式，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出S_n，通过比较n=1，2，比较S_n与f（n）的大小，猜想n≥3时的结果，利用二项式定理证明即可．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，2a₁=a₁+1∴a₁=1…（1分）
∵2a_n=S_n+n，n∈N^*，∴2a_n-1=S_n-1+n-1，n≥2，
两式相减得a_n=2a_n-1+1，n≥2，即a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
令b_n=a_n+1，则

bn

bn-1

=2，n≥2且b₁=a₁+1=2，
所以b_n=b₁•2^n-1=2×2^n-1=2ⁿ．n∈N^*，
∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=2ⁿ-1，n∈N^*，
得S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n+1)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-n-2
当n=1，2时，S_n=f（n）；当n≥3时，S_n＞f（n）…（9分）
只需证2ⁿ⁺¹＞n²+n+2，n≥3，
利用(1+1)2=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=

1

2

(n2+n+2)．
∴2ⁿ⁺¹＞n²+n+2，n≥3．…（13分）

点评：本题考查数列通项公式的求法，二项式定理证明不等式的应用，考查计算能力，转化思想；也可用数学归纳法证，也可构造函数s（x）=2^x+1，f（x）=x²+x+2，利用导数证明，方法比较多．