【题目】已知函数,
,在
处的切线方程为
(1)若,证明:
;
(2)若方程有两个实数根
,
,且
,证明:
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
Ⅰ
求得
的导数,可得切线的斜率和切点,由切线方程可得
的解析式,令
,求得导数和单调性,即可得证;
Ⅱ
设
在
处的切线方程为
,可得
,令
,求得导数和单调性,运用函数方程的转化,以及函数的单调性的运用,即可得证.
Ⅰ
由题意
,所以
,
又,所以
,
若,则
,与
矛盾,故
,
;
可知,
,
,由
,可得
,
令,
,
当时,
,
当时,设
,
,
故函数在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
故,即
,
故;
Ⅱ
设
在
处的切线方程为
,
易得,,令
,
即,
,
当时,
,
当时,设
,
,
故函数在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
故F,
,
设的根为
,则
,
又函数单调递减,故
,故
,
设在
处的切线方程为
,易得
,
由Ⅰ
得
,设
的根为
,则
,
又函数单调递增,故
,故
,
又,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个孩子的身高与年龄
(周岁)具有相关关系,根据所采集的数据得到线性回归方程
,则下列说法错误的是( )
A.回归直线一定经过样本点中心
B.斜率的估计值等于6.217,说明年龄每增加一个单位,身高就约增加6.217个单位
C.年龄为10时,求得身高是,所以这名孩子的身高一定是
D.身高与年龄成正相关关系
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:万元)对年销售量
(单位:
)的影响,对近
年的年宣传费
和年销售量
作了初步统计和处理,得到的数据如下:
年宣传费 | ||||
年销售量 |
,
.
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(2)求出关于
的线性回归方程
;
(3)若公司计划下一年度投入宣传费万元,试预测年销售量
的值.
参考公式
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【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于
,抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则抛物线
上的动点
到直线
和
的距离之和的最小值为__________.
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【题目】如图所示,已知点是抛物线
上一定点,直线
的倾斜角互补,且与抛物线另交于
,
两个不同的点.
(1)求点到其准线的距离;
(2)求证:直线的斜率为定值.
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【题目】设函数,
(其中
,
,
),在
上既无最大值,也无最小值,且
,则下列结论成立的是( )
A.若对任意
,则
B.的图象关于点
中心对称
C.函数的单调减区间为
D.函数的图象相邻两条对称轴之间的距离是
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【题目】为了推进课堂改革,提高课堂效率,银川一中引进了平板教学,开始推进“智慧课堂”改革.学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况,从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查.先用简单随机抽样从923人中剔除23人,剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人,则在这923人中,每个人被抽取的可能性 ( )
A.都相等,且为B.不全相等C.都相等,且为
D.都不相等
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【题目】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边、
、
,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥,余半之,自乘于上,以小斜冥乘大斜冥减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积”若把以上这段文字写出公式,即若
,则
.
(1)已知的三边
,
,
,且
,求证:
的面积
.
(2)若,
,求
的面积
的最大值.
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【题目】2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取
人调查专项附加扣除的享受情况.
(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为.享受情况如右表,其中“
”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 | A | B | C | D | E | F |
子女教育 | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ |
继续教育 | × | × | ○ | × | ○ | ○ |
大病医疗 | × | × | × | ○ | × | × |
住房贷款利息 | ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
住房租金 | × | × | ○ | × | × | × |
赡养老人 | ○ | ○ | × | × | × | ○ |
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件
发生的概率.
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