Question

如图，已知正三棱锥A―BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=2．

(1)求此正三棱锥的高；

(2)求二面角E―FD―B的大小．

Answer 1

解法一：(1)由正三棱锥的性质知AC⊥BD．

EF//AC,

∴EF⊥BD．又EF⊥ED．故EF⊥平面ABD，即

AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，AC⊥AD．

又∵A―BCD为正三棱锥，

∴AB⊥AD，

从而AB=AC=AD=?BC=．

  设△BCD中心为O，则棱锥高为

  AO=．

  (2)过E作EH⊥BO于H，则EH∥AO，即EH⊥平面BCD．

又过H作HG⊥DF于G，连EG，则EG⊥DF，

故∠HGE为二面角E一FD一B的平面角．

  ∵EH=AO=，HG=BF=，

  ∴tan∠EGH==×2=，

  ∠EGH=arctan

  解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则B、C、D的坐标为B(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，

若设棱锥高为h，又A在平面BCD上的射影为ABCD的中心，

则A的坐标为(，1，h)．

∵E、F为AB、BC的中点，

∴E(，，h)，F(，，0)．

∵EF⊥DE，∴，

   即(，0，一)?(，一，一)=0

   ∴，．

  (2)设m=(，，z)为平面DEF的法向量，则

  ．即

  令z=1，则

  又平面BCD的法向量n=(0,0,1)，由m,n的方向知，当二面角E―FD―B设为时，

  cos=，