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已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P(xy)在y轴上的射影为H,||是2和的等比中项.

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)若以点MN为焦点的双曲线C过直线xy=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程.

答案:
解析:

  解:(1)动点为P(xy),则H(0,y),=(-x,0),=(-2-x,-y),=(2-x,-y),

  ∴·x2-4+y2,且||2x2.由题意得||2=2·,即x2=2(x2-4+y2),∴为所求点P的轨迹方程.

  (2)若直线xy=1与双曲线C右支交于点Q时,而N(2,0)关于直线xy=1的对称点E(1,-1),则|QE|=|QN|,

  ∴双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=(当且仅当QEM共线时取“=”),此时,实轴长2a最大为

  若直线xy=1与双曲线C左支交于点Q时,同理可求得双曲线C的实轴长2a最大为

  所以,双曲线C的实半轴长a

  又∵c|MN|=2,∴b2c2a2

  故双曲线方程为


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已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|
MN
|•|
MP
|+
MN
NP
=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为(  )
A、y2=8x
B、y2=-8x
C、y2=4x
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|•|
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|+
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MP
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y2=-8x
y2=-8x

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MN
|•|
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MN
MP
= 0

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=12
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x2+y2=16
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(2006•重庆一模)已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P(x,y)在y轴上的射影为H,|
PH
|
是2和
PM
PN
的等比中项.
(I)求动点P的轨迹方程;
(II)若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程.

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