Question

设圆台的高为3，其轴截面（过圆台轴的截面）如图所示，母线A₁A与底面圆的直径AB的夹角为60°，在轴截面中A₁B⊥A₁A，求圆台的体积V．

Answer 1

分析：根据圆台的轴截面，求出圆台的上底半径和下底半径，然后利用圆台的体积公式求体积．

解答：解：设AB的中点为O，作A₁D⊥AB，则A₁D=3，
∵A₁B⊥A₁A
∴在直角△A₁AB中，A₁O=

1

2

AB=AO，
又∵∠A₁AB=60°
∴△A₁AO为等边三角形．
∴在△A₁AO中A₁D=

3

2

AO=3，得AO=2

3

，
设圆台的上、下底面半径分别为r，R．
∴R=AO=2

3

，r=DO=

1

2

A0=

3

，
∴上、下底面面积分别为：S'=πr²=3π，S=πR²=12π，
∴体积v=

1

3

(S′+S+

S′S

)•A1D=

1

3

(3π+

36π2

+12π)×3=21π．
∴圆台的体积为21π．

点评：本题主要考查三视图的应用，以及圆台的体积公式，要求熟练掌握规则几何体的体积公式．