Question

如图，四棱锥G-ABCD中，ABCD是正方形，且边长为2a，面ABCD⊥面ABG，AG=BG．
（1）画出四棱锥G-ABCD的三视图；
（2）在四棱锥G-ABCD中，过点B作平面AGC的垂线，若垂足H在CG上，求证：面AGD⊥面BGC
（3）在（2）的条件下，求三棱锥D-ACG的体积及其外接球的表面积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据三视图的定义即可画出四棱锥G-ABCD的三视图；
（2）利用面面垂直的判断定理即可证明面AGD⊥面BGC
（3）根据三棱锥的体积公式即可得到结论．

解答： 解：（1）三视图（见右图）…（3分）

（2）ABCD是正方形∴BC⊥AB
∵面ABCD⊥面ABG，
∴BC⊥面ABG
∵AG?面ABG，
∴BC⊥AG
又  BH⊥面AGC，
∴BH⊥AG
∵BC∩BH=B，
∴AG⊥面AGD
∴面AGD⊥面BGC  …（7分）

（3）由（2）知AG⊥面BGC，
∴AG⊥BG   又AG=BG
∴△ABG是等腰Rt△，取AB中点E，
连结GE，则GE⊥AB
∴GE⊥面ABCD
∴VD-ACG=VG-ACD=

1

3

•GE•SACD=

1

3

•

1

2

•2a•

1

2

•(2a)2=

2

3

a3…（9分）
又AG⊥GC，
∴取AC中点M，则MG=

1

2

AC，
因此：MG=MA=MC=MD=

2

a，
即点M是三棱锥D-ACG的外接球的球心，
半径为

2

a，
∴S=4πR²=8πa²…（14分）

点评：本题主要考查三视图的画法以及空间面面垂直的判定，根据面面垂直的判定定理是解决本题的关键．