(08年浙江卷)(本题14分)如图,矩形和梯形
所在平面互相垂直,
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)当的长为何值时,二面角
的大小为
?
【解析】 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。
方法一:
(Ⅰ)证明:过点作
交
于
,连结
,
可得四边形为矩形,又
为矩形,
所以,从而四边形
为平行四边形,
故.
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)解:过点作
交
的延长线于
,连结
.
由平面平面
,
,得
平面
,
从而.
所以为二面角
的平面角.
在中,因为
,
,所以
,
.
又因为,所以
,
从而.
于是.
因为,
所以当为
时,二面角
的大小为
.
方法二:如图,
以点为坐标原点,以
和
分别作为
轴,
轴和
轴,
建立空间直角坐标系.设
,
则,
,
,
,
.
(Ⅰ)证明:,
,
,
所以,
,从而
,
,
所以平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
故平面
.
(Ⅱ)解:因为,
,
所以,
,从而
解得
.
所以,
.
设与平面
垂直,则
,
,
解得.
又因为平面
,
,
所以,得到
.
所以当为
时,二面角
的大小为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
(08年浙江卷文)(本题14分)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球。已知袋中共有10个球.从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是
.求:
(Ⅰ)从中任意摸出2个球,得到的都是黑球的概率;
(Ⅱ)袋中白球的个数.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年浙江卷理)(本题14分)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是
.
(Ⅰ)若袋中共有10个球,
(i)求白球的个数;
(ii)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量
的数学期望
.
(Ⅱ)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于.并指出袋中哪种颜色的球个数最少.
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