Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x+a，x∈R，若f（x）的最大值为

2

．
（1）求a的值，并求函数f（x）取得最大值时自变量x的集合；
（2）说明函数f（x）的图象可由y=sin2x图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2-a，依题意（f（x）的最大值为

2

）可求得a的值，继而可求函数f（x）取得最大值时自变量x的集合；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，即可求得函数f（x）的图象是由y=sin2x图象经过怎样的变换而得到的．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x+a
=sin2x+cos2x+2+a
=

2

sin（2x+

π

4

）+2-a，
则当sin（2x+

π

4

）=1时，f（x）_max=

2

+2+a=

2

，
∴a=-2；
此时sin（2x+

π

4

）=1，即2x+

π

4

=2kπ=

π

2

，k∈Z．
∴x=kπ+

π

8

，k∈Z．
∴f（x）取到最大值时，自变量x的集合为：{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．
（2）由已知a=-2，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），
将y=sin2x的图象向左平移

π

8

个单位得到y=f（x+

π

8

）=sin2（x+

π

8

）=sin（2x+

π

4

）的图象；
再将y=sin（2x+

π

4

）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的

2

倍（横坐标不变）得到f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）的图象．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查二倍角的正弦与余弦及正弦函数的性质，属于中档题．