Question

如图所示，椭圆过点B(0，

5

)，点F、A分别为椭圆的右焦点和右顶点且有

AF

=

FM

=

1

2

FO

．
（1）求椭圆的方程．
（2）若动点P（x，y），符合条件：

PM

•

PA

=0，当y≠0时，求证：动点P（x，y）一定在椭圆内部．

Answer 1

分析：（1）先根据题意确定b=

5

，再由

AF

=

1

2

FO

可以得到a=

3

2

c，最后根据椭圆的基本性质a²=b²+c²可以求出a，b，c的值，从而确定椭圆方程．
（2）先求出点F，M，A的坐标，根据P满足条件

PM

•

PA

=0可得到p轨迹方程，然后与椭圆方程联立发现仅有一个公共点A（3，0），又因为当y≠0时考虑，故要舍弃，从而得证．

解答：解：（1）依题意得：b=

5

∵

AF

=

1

2

FO

，
∴2（a-c）=c，
∴a=

3

2

c
∵a²=b²+c²，∴c=2
∴a=3，c=2，b=

5

，
故椭圆的方程

x2

9

+

y2

5

=1．

（2）由动点P（x，y）符合条件

PM

•

PA

=0，F（2，0）、M（1，0）、A（3，0）
得P（x，y）的轨迹方程：（x-2）²+y²=1，是以F（2，0）为圆心，1为半径的圆．
联立椭圆的方程

x2

9

+

y2

5

=1得：公共点仅为A（3，0）
又y≠0所以A（3，0）舍去，从而该圆始终在椭圆内部．
故动点P（x，y）一定在椭圆内部．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和动点的轨迹方程．椭圆在圆锥曲线中占据重要的位置，在高考中所占的比重特别大，一定要强化复习．