Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=4和点P（-1，1），过点P的直线l交圆O于A、B两点．
（1）若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（2）设弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设过点P（-1，1）的直线l：x=-1或y-1=k（x+1），联立圆的方程，由点到直线的距离公式和弦长公式，计算即可得到所求；
（2）取OP的中点H，连接MH，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半，运用圆的定义，即可得到所求轨迹方程．

解答 解：（1）设过点P（-1，1）的直线l：x=-1或y-1=k（x+1），
当直线为x=-1时，代入圆的方程可得y=±$\sqrt{3}$，
有|AB|=2$\sqrt{3}$，成立；
当直线为y=kx+1+k，圆心到直线的距离为d=$\frac{|1+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
有2$\sqrt{4-{d}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即有d=1，解得k=0，
即有直线方程为y=1．
综上可得直线方程为x=-1或y=1；
（2）由OM⊥AB，
在直角三角形OMP中，OP为斜边，
取OP的中点H，即有|OP|=2|MH|，
可得|MH|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
且H（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
设M（x，y），则$\sqrt{（x+\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有M的轨迹方程为圆（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式的运用和直线方程的求法，注意斜率不存在的情况，同时考查点的轨迹方程的求法，注意运用几何性质，属于中档题．