若数列{an}满足an+2+pan+1+qan=0(其中p2+q2≠0,且p、q为常数)对任意n∈N*都成立,则我们把数列{an}称为“L型数列”.
(1)试问等差数列{an}、等比数列{bn}(公比为r)是否为L型数列?若是,写出对应p、q的值;若不是,说明理由.
(2)已知L型数列{an}满足a1=1,a2=3,an+1-4an+4an-1=0(n≥2,n∈N*),证明:数列{an+1-2an}是等比数列,并进一步求出{an}的通项公式an.
【答案】
分析:(1)等差数列{a
n}、等比数列{b
n}(n∈N
*)都是L型数列,然后分别找出符合题意的p和q即可.
(2)将a
n+1-4a
n+4a
n-1=0(n≥2,n∈N
*)化成a
n+1-2a
n=2a
n-4a
n-1=2(a
n-2a
n-1),根据等比数列的定义进行判定即可,然后求出新数列的通项,在等式两侧同除以2
n,可得
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/0.png)
是以
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/1.png)
为首项,公差为
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/2.png)
的等差数列,求出通项即可求出a
n.
解答:解:(1)答:等差数列{a
n}、等比数列{b
n}(n∈N
*)都是L型数列.
理由 当数列{a
n}(n∈N
*)是等差数列时,有a
n+2-a
n+1=a
n+1-a
n,(1分)
即a
n+2-2a
n+1+a
n=0,且相应的p=-2,q=1. (3分)
所以等差数列{a
n}(n∈N
*)是L型数列. (4分)
同样,当数列{b
n}(n∈N
*)是等比数列时,有b
n+2=rb
n+1(r为公比),(5分)
即b
n+2-rb
n+1+0•b
n=0,且相应的p=-r,q=0. (7分)
所以等比数列{b
n}(n∈N
*)是L型数列. (8分)
证明 (2)∵a
n+1-4a
n+4a
n-1=0(n≥2,n∈N
*),
∴a
n+1-2a
n=2a
n-4a
n-1=2(a
n-2a
n-1). (10分)
又a
2-2a
1=3-2=1(≠0),
∴数列{a
n+1-2a
n}(n∈N
*)是以(a
2-2a
1)为首项,公比为2的等比数列. (12分)
于是,a
n-2a
n-1=(a
2-2a
1)•2
n-2,即a
n-2a
n-1=2
n-2(n≥2,n∈N
*).
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/3.png)
.因此,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/4.png)
是以
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/5.png)
为首项,公差为
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/6.png)
的等差数列.(14分)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/7.png)
,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/8.png)
所以数列{a
n}的通项公式
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183045490936658/SYS201310241830454909366019_DA/9.png)
. (16分)
点评:本题主要考查了等差数列与等比数列的综合,同时考查了数列的通项公式,构造新数列是常用的方法,属于中档题.