Question

已知函数①f（x）=2lnx；②f（x）=3e^cosx；③f（x）=3e^x；其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量都存在唯一个个自变量x₂，使

f(x1)f(x2)

=3成立的函数是

 

．（填上所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：先根据条件把：

f(x1)f(x2)

=3转化为：f（x₁）f（x₂）f（x₁）=9=9；对于①②，举反例即可排除，对于③，按要求推导其成立即可．

解答：解：因为

f(x1)f(x2)

=3，即f（x₁）f（x₂）f（x₁）=9=9．
对于①，当x₁=1时，f（x₁）=0，对于任意一个x₂，都有f（x₁）f（x₂）f（x₁）=9=0，不成立．
对于②，因为f（x₁）f（x₂）f（x₁）=9=9ecosx1+cosx2  =9，即cosx₁+cosx₂=1，当x₁=π时，x₂=（2k+1）π，k∈Z，有无数个，不成立
对于③，因为f（x₁）f（x₂）f（x₁）=9=9ex1+x2 =9，即x₁+x₂=0，对于f（x）定义域内的任意一个自变量都存在唯一个个自变量x₂，符合要求．
故选：③．

点评：本题主要考查函数恒成立问题．在我们想排除一个答案时，只要能找到一个反例即可说明问题．