Question

设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．
（I） 求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（ I） 设P（x，y），，．由，知，，由，知．由此能求出曲线C的方程．
（ II） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．故x=λs，y=16+λ （t-16）．由M、N在曲线C上，知由此能求出实数λ的取值范围．
解答：解：（ I） 设P（x，y），
为A、B分别为直线和上的点，
故可设，．
∵，
∴，
∴，…（4分）
又，
∴．…（5分）
∴．
即曲线C的方程为．…（6分）
（ II） 设N（s，t），M（x，y），
则由，
可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．
故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）
∵M、N在曲线C上，
∴…（10分）
消去s得  ．
由题意知λ≠0，且λ≠1，
解得．…（12分）
又|t|≤4，
∴．
解得  （λ≠1）．
故实数λ的取值范围是（λ≠1）．…（14分）
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出错．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．