Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，以F₁，F₂为焦点的椭圆C，过点（1，

2

2

），
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设T（2，0），过点F₂作直线l与椭圆C交于A，B两点，且

F2A

=λ

F2B

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|²的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y²=4x求得c=1．设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由于椭圆C过点（1，

2

2

），代入椭圆方程结合a²=b²+c²，联立解得即可；
（II）设l：x=ky+1，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由λ∈[-2，-1）可得到k²的取值范围．由于

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），通过换元，令t=

1

k2+2

∈[

7

16

，

1

2

]，即可得出|

TA

+

TB

|²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y²=4x得c=1，
设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵椭圆C过点（1，

2

2

），
∴

1

a2

+

1 2

b2

=1，
又a²=b²+1，
联立解得b²=1，a²=2．
故椭圆C的标准方程为椭圆方程为

x2

2

+y²=1

（Ⅱ）由题意可设l：x=ky+1，由

x=ky+1 x2+2y2-2=0

得（k²+2）y²+2ky-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

y1+y2= -2k k2+2 ① y1y2= -1 k2+2 ② y1=λy2(λ＜0)③

将①²÷②得

y1

y2

+

y2

y1

+2=-

4k2

k2+2

⇒λ+

1

λ

+2=

4k2

k2+2

由λ∈[-2，-1]得-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0⇒-

1

2

≤

-4k2

k2+2

≤0，0≤k²≤

2

7

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
x₁+x₂-4=k（y₁+y₂）-2=-

4(k2+1)

k2+2

，
|

TA

+

TB

|=

16(K2+1)2

(k2+2)2

+

4k2

(k2+2)2

=

16(k2+2)2-28(k2+2)+8

(k2+2)2

=16-

28

k2+2

+

8

(k2+2)2

令t=

1

k2+2

∈[

7

16

，

1

2

]，|

TA

+

TB

|²=8t²-28t+16
∴t=

1

2

时|

TA

+

TB

|²的最小值是4

点评：本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．