Question

17．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则二面角A′-BD-A的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 判断四面体A′BDA为正四面体，取BD的中点E，连接AE，A′E，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形AA′E即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．

解答 解：棱长都相等的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则四面体A′BDA为正四面体．
取BD的中点E，连接AE，A′E，设四面体的棱长为2，则AE=A′E=$\sqrt{3}$
且AE⊥BD，A′E⊥BD，则∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，
在△AA′E中，cos∠AEA′=$\frac{{AE}^{2}+{A′E}^{2}-{A′A}^{2}}{2AE•A′E}$=$\frac{1}{3}$
故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是：$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEA′即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．