Question

设a＞0，如图，已知直线l：y＝ax及曲线C：y＝x²，C上的Q₁的横坐标为a₁(0＜a₁＜a)．从C上的点Q_n(n≥1)作直线平行于x轴，交直线l于点P_n+1，再从点P_n+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q_n+1．Q_n(n＝1，2，3，…)的横坐标构成数列{a_n}．

(Ⅰ)试求a_n+1与a_n的关系，并求{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)当a＝1，a₁≤时，证明：；

(Ⅲ)当a＝1时，证明：

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：∵Qn(an，an2)，Pn+1(·an2，an2)，Qn+1(·an2，an4)， 　　∴an+1＝·an2， 　　∴an＝·an－12＝(·an－22)2＝()1+2 　　＝()1+2＝ 　　＝…＝ 　　＝＝a． 　　∴an＝a． 　　(Ⅱ)证明：由a＝1知an+1＝an2， 　　∵a1≤，∴a2≤，a3≤． 　　∵k≥1时，ak+2≤a3≤． 　　∴≤＝(a1－an+1)＜． 　　(Ⅲ)证明：由(Ⅰ)知，当a＝1时，an＝， 　　因此＝≤＝(1－a1)a12＜(1－a1)a12·＝＜．