Question

已知函数在时取得极小值．
（1）求实数的值；
（2）是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出，的值；
若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）,（2）满足条件的值只有一组，且．

解析试题分析：（1）根据函数极值求参数，不要忘记列表检验.因为导数为零的点不一定是极值点. 因为，所以由题意，解得或．当时，在上为减函数，在上为增函数，符合题意；当时，在上为增函数，在，上为减函数，不符合题意．（2）由值域范围确定解析式中参数范围，是函数中难点.主要用到分类讨论的思想方法.首先因为，所以．① 若，则，因为，所以．设，则，所以在上为增函数．由于，即方程有唯一解为．② 若，则，即或．
（Ⅰ）时，，由①可知不存在满足条件的．（Ⅱ）时，，两式相除得．设，则，在递增，在递减，由得，，此时，矛盾．
【解】（1），                
由题意知，解得或．                          2分
当时，，
易知在上为减函数，在上为增函数，符合题意；
当时，，
易知在上为增函数，在，上为减函数，不符合题意．