Question

（2013•虹口区二模）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=lgx在R⁺上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f(x)=x2+

a

x

在

1，2

上是“凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）对于区间

c，d

上的“凸函数”f（x），在

c，d

上任取x₁，x₂，x₃，…，x_n．
①证明：当n=2^k（k∈N^*）时，f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，
证明：f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．

Answer 1

分析：（1）利用作差法证明，即要证：f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，只要证f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥0即可；
（2）首先根据“凸函数”的定义得出不等关系式，再进行分离常数a，然后问题就转化为函数求最值的问题，求最值时利用基本不等式法，即可得到a的范围；
（3）①直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，验证k=1时不等式成立；（2）假设当k=m（m∈N^*）时成立，利用放缩法证明k=m+1时，不等式也成立．②比如证明n=3不等式成立．

解答：解：（1）设x₁，x₂是R⁺上的任意两个数，则f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)=lgx1+lgx2-2lg

x1+x2

2

=lg

4x1x2

(x1+x2)2

≤lg1=0∴f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]．
∴函数f（x）=lgx在R⁺上是“凸函数”．…（4分）
（2）对于

1，&2

上的任意两个数x₁，x₂，均有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，
即(

x1+x2

2

)2+

a

x1+x2 2

≥

1

2

[(

x

2 1

+

a

x1

)+(

x

2 2

+

a

x2

)]，
整理得(x1-x2)2a≤-

1

2

(x1-x2)2x1x2(x1+x2)…（7分）
若x₁=x₂，a可以取任意值．
若x₁≠x₂，得a≤-

1

2

x1x2(x1+x2)，
∵-8＜-

1

2

x1x2(x1+x2)＜-1，∴a≤-8．
综上所述得a≤-8．…（10分）
（3）①当k=1时由已知得f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立．
假设当k=m（m∈N^*）时，不等式成立即f(

x1+x2+…+x2k

2m+1

)≥

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]成立．
那么，由c≤

x1+x2+…+x2m

2m

≤d，c≤

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

≤d
得f(

x1+x2+…+x2m+1

2m+1

)=f{

1

2

[

x1+x2+…+x2m

2m

+

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

]}≥

1

2

[f(

x1+x2+…+x2m

2m

)+f(

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

)]≥

1

2

{

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]+

1

2m

[f(x2m+1)+f(x2m+2)+…+f(x2m+1)]}=

1

2m+1

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m+1)]．
即k=m+1时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．…（15分）
②比如证明n=3不等式成立．由①知c≤x₁≤d，c≤x₂≤d，c≤x₃≤d，c≤x₄≤d，
有f(

x1+x2+x3+x4

4

)≥

1

4

[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]成立．
∵c≤x₁≤d，c≤x₂≤d，c≤x₃≤d，c≤

1

3

(x1+x2+x3)≤d，
∴f(

x1+x2+x3

3

)=f(

x1+x2+x3 3 +x1+x2+x3

4

)≥

1

4

[f(

x1+x2+x3

3

)+f(x1)+f(x2)+f(x4)]，
从而得f(

x1+x2+x3

3

)≥

1

3

[f(x1)+f(x2)+f(x3)]．…（18分）

点评：本题给出了数学新定义凸函数，在判断一个函数是凸函数要根据定义，方法是“作差法”，本题的第一问与第二问紧密联系解题是要抓住这一点．难点在第三问，怎样根据数学归纳法原理证明不等式．