Question

设α、β（α < β）是x的方程2x²－ax－2 = 0的两个实根，又．

（Ⅰ）证明f ( α ) f ( β ) =－4；

（Ⅱ）判断函数f ( x )在[ α，β ]上的单调性，并予以证明；

（Ⅲ）当a取何值时，函数f ( x )在[ α，β ]上的最大值减去最小值的差最小，并说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由题设，，α β =－1， ∴ ． （Ⅱ）任取x1，x2，使α ≤ x1 < x2≤β，则 其中 x2－x1 > 0，，显然成立， 又 4+a (x2 + x1)－4 x1x2 = －4α β + 2 (α + β) (x2 + x1)－4 x1x2 = －2α β－2α β + 2αx2+2αx1 + 2βx2 + 2βx1－2 x1x2－2 x1x2 = 2(x2 －β)( α－x1) + 2(x1 －β)( α－x2) > 0 ． ∴ f ( x2 )－f ( x1 ) > 0，即f ( x2 ) > f ( x1 ) ． ∴ f ( x )在[ a，b ]上是增函数． （Ⅲ） 由（Ⅱ），在[ α，β ]上f ( x )的最大值为f ( β )，最小值为f ( α )，又f ( α ) f ( β )=－4 < 0，故f ( β ) > 0，f ( α ) < 0 ． ∴ f ( β )－f ( α ) = f ( β ) + [－f ( α )]， 当且仅当f ( β ) = －f ( α ) = 2时，上式取等号． ∴ f ( β ) = 2时，f ( β )－f ( α )最小． 再由   消β 后可解得  a = 0． ∴  a = 0时，f ( x )在[ α，β ]上最大值减最小值的差最小．

提示：

由题意得，α β =－1，以此为据证明f ( α ) f ( β ) =－4