Question

下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，则着色三角形的个数的通项公式为

1. A.
   3^n-1
2. B.
   3ⁿ
3. C.
   2^n-1
4. D.
   2ⁿ

Answer 1

A
分析：根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，3×3，3×9…，归纳出第n图形中三角形的个数．
解答：由图形得：
第2个图形中有3个三角形，
第3个图形中有3×3个三角形，
第4个图形中有3×9个三角形，
以此类推：第n个图形中有3^n-1个三角形．
故答案为：a_n=3^n-1
故选A．
点评：本题利用图形的特点，找出三角形增加的规律，进行归纳推理，再利用等比数列公式求出第n个三角形的个数．