Question

（2009•海淀区二模）如图，四边形ABCD的顶点都在椭圆

x2

6

+

y2

3

=1上，对角线AC、BD互相垂直且平分于原点O．
（I）若点A在第一象限，直线AB的斜率为1，求直线AB的方程；
（II）求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=x+b．因为四边形ABCD的顶点都在椭圆

x2

6

+

y2

3

=1上，所以

y=x+b x2+2y2=6

，△=16b²-12（2b²-6）=8（9-b²）＞0，再由韦达定理结合题设条件能求出直线AB的方程．
（II）①若直线AB⊥x轴，设其方程为x=x₀，此时易知直线AC、BD的方程分别为y=x，y=-x，且四边形ABCD是正方形，由此能求出四边形ABCD的面积S=（2x₀）²=4x₀²=8．
②若直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m x2+2y2=6

，所以（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0，由此能够推导出S_min=8．综上所述，四边形ABCD面积的最小值为8．

解答：（Ⅰ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=x+b…（1分）
∵四边形ABCD的顶点都在椭圆

x2

6

+

y2

3

=1上
∴

y=x+b x2+2y2=6

，
∴x²+2（x+b）²=6，
即3x²+4bx+2b²-6=0
则△=16b²-12（2b²-6）=8（9-b²）＞0…（2分）
x1+x2=-

4b

3

，x1x2=

2b2-6

3

…（3分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=

2b2-6-4b2

3

+b2=

b2-6

3

，
又OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0…（4分）
∴

3b2-12

3

=0
∴b²=4，b=±2…（5分）
∵A点在第一象限，
∴b=-2．
所以直线AB的方程为y=x-2…（6分）
（II）①若直线AB⊥x轴，设其方程为x=x₀，
此时易知直线AC、BD的方程分别为y=x，y=-x，
且四边形ABCD是正方形，
则A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀），

x02

6

+

x02

3

=1，x₀²=2，
四边形ABCD的面积S=（2x₀）²=4x₀²=8…（8分）
②若直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m x2+2y2=6

，
∴x²+2（kx+m）²=6，
即（2k²+1）x²+4kmx+2m²-6=0…（9分）
则△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-6）
=8[2k²m²-（2k²m²+m²-6k²-3）]
=8（6k²+3-m²）＞0，
x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-6

2k2+1

…（10分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

k2(2m2-6)-4k2m2+2k2m2+m2

2k2+1

=

m2-6k2

2k2+1

又OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

2m2-6+m2-6k2

2k2+1

=

3m2-6k2-6

2k2+1

=0
∴m²=2k²+2…（11分）
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

8(6k2+3-m2)

2k2+1

=

1+k2

•

8(6k2+3-2k2-2)

2k2+1

=2

2

•

1+k2

•

4k2+1

2k2+1

直角三角形OAB斜边AB上的高h=

|m|

1+k2

所以S△OAB=

1

2

h|AB|=

2

•

m2(4k2+1)

2k2+1

=

2

•

(2k2+2)(4k2+1)

2k2+1

=2

4k4+5k2+1 4k4+4k2+1

=2

1+ k2 (2k2+1)2

≥2，…（13分）
当且仅当k=0时取得此最小值，此时S_min=8…（14分）
综上所述，四边形ABCD面积的最小值为8．

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．