Question

对于函数①f(x)=4x+

1

x

-5，②f(x)=|log2x|-(

1

2

)x，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判断如下两个命题的真假：
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（　　）

• A、①
• B、②
• C、①③
• D、①②

Answer 1

分析：①函数可用导数求出在（1，2）上是增函数，②函数是|log2^x|与-(

1

2

)x的和函数，且两者在区间（1，2）上均是增函数，知f(x)=|log2x|-(

1

2

)x是增函数．③f（x）=0得cos（x+2）=cosx，在（0，+∞）上无数个零点．

解答：解：①f'（x）=4-

1

x2

，在区间（1，2）f'（x）＞0，f（x）在区间（1，2）上是增函数．使甲为真．f（x）的最小值是-1＜0当x=

1

2

时取得．又f（1）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁＜

1

2

；x₂=1．   x₁x₂=x₁＜1，使乙为真．
②在区间（1，2），|log2^x|=log2^x，是增函数．-(

1

2

)x也是增函数，两者的和函数也是增函数．使甲为真．利用信息技术f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂；0＜x₁＜

1

2

1＜x₂＜2．使乙为真．
③f（x）=0得cos（x+2）=cosx．x+2=2kπ±x．x=kπ-1，k∈Z，在区间（0，+∞）上有无数个零点．使乙为假．
故选D．

点评：要掌握好基本初等函数的单调性，以及函数零点个数的判定，用二分法求零点的近似值．