Question

对于函数f(x)=

x-1

x+1

，设f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N^*，且n≥2），令集合M={x|f2012(x)=

1

x

，x∈R}，则集合M为（　　）

A．空集

B．单元素集

C．二元素集

D．无限集

Answer 1

分析：由函数f(x)=

x-1

x+1

，f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N^*，且n≥2），能够推导出f₂（x）=-

1

x

，f₃（x）=

1+x

1-x

，f₄（x）=x，f₅（x）=

x-1

x+1

．故f₂₀₁₂（x）=x，由此能求出集合M．

解答：解：∵函数f(x)=

x-1

x+1

，f₂（x）=f[f（x）]，
f₃（x）=f[f₂（x）]，…f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N^*，且n≥2），
∴f₂（x）=

x-1 x+1 -1

x-1 x+1 +1

=-

1

x

，
f₃（x）=

- 1 x -1

- 1 x +1

=

1+x

1-x

，
f₄（x）=

1+x 1-x -1

1+x 1-x +1

=x，
f₅（x）=

x-1

x+1

．
∵2012=4×503，
∴f₂₀₁₂（x）=x，
∴M={x|f2012(x)=

1

x

，x∈R}={x|x=

1

x

}={-1，1}．
又x不能为0，1，-1，所以是空集．
故选A．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．