Question

设f（k）是满足不等式x²-3•g（k）•x+2g²（k）≤0的自然数x的个数，其中g（k）=2^k-1（k∈N^*）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ） 求f（k）的解析式；
（Ⅲ）记Sn=

n

i=1

f(i)，令P_n=n²+n-1（n∈N^*），试比较S_n与P_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当k=1时，原不等式即x²-3x+2≤0，再结合x∈N^*，可求；
（Ⅱ）将原不等式进行等价变形，再考虑其自然数x的个数，可得f（k）的解析式；
（Ⅲ）先猜后证，利用数学归纳法进行证明．

解答：解：（Ⅰ）当k=1时，原不等式即x²-3x+2≤0，解得1≤x≤2，∵x∈N^*，∴x=1，2即f（1）=2（2分）
（Ⅱ）原不等式等价于（x-2^k）（x-2^k-1）≤0，∴2^k-1≤x≤2^k..（4分）
∴f（k）=2^k-1+1．（6分）（8分）
（Ⅲ）∵Sn=

n

i=1

f(i)=2n+n-1，∴S_n-P_n=2ⁿ-n²
n=1时，2¹-1²＞0；n=2时，2²-2²=0，n=3时，2³-3²0（9分）
猜想：n≥5时，S_n＞P_n，下面用数学归纳法给出证明
①当n=5时，S₅＞P₅，已证．（10分）
②假设n=k（k≥5）时结论成立即2^k＞k²
那么n=k+1时，2^k+1-（k+1）²＞2k²-k²-2k-1=（k-1）²-2
在k≥5范围内，（k-1）²-2＞0恒成立，则2^k+1＞（k+1）²，即S_k+1＞P_k+1
由①②可得，猜想正确，即n≥5时，S_n＞P_n，．（13分）
综上所述：当n=2，4时，Sn=Pn，；当n=3时，Sn＜P_n；当n=1或n≥5时，S_n＞P_n，；（14分）．

点评：本题求解的关键是正确理解题意，同时考查了归纳猜想的思想，注意数学归纳法的证题步骤，