Question

设函数f(x)=log₃(x²-4mx+4m²+m+),其中m为实数,记集合M={m|m＞1}.

(1)求证:当m∈M时,f(x)对所有实数x都有意义;反之,如果f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M.

(2)当m∈M时,求f(x)的最小值.

Answer 1

剖析:(1)本质上是一个充要条件问题,需从两方面给予证明;(2)是区间上的最值问题,要注意变量的取值范围.

(1)证明:令g(x)=x²-4mx+4m²+m+,

    即g(x)=(x-2m)²+m+.

    若m∈M,则m＞1,g(x)≥m+＞0.

    所以f(x)=log₃g(x)对所有实数x都有意义.

    反之,若f(x)对所有实数x有意义,即对所有实数x,都有g(x)＞0.

    特别地,g(2m)＞0,

    所以m+＞0＞0.

    注意到m²-m+1=(m-)²+＞0,

    所以m-1＞0,即m＞1.

    所以m∈M.

(2)解:当m∈M时,m＞1,g(x)≥m+

    f(x)=log₂g(x)≥log₃(m+),

    当x=2m时,

    f(x)_min=log₃(m+).

讲评:正确理解(1)的题意是正确解题的关键.