Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于不同两点，（都在轴上方），且.

（ⅰ）若点的横坐标为1，求的面积；

（ⅱ）直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，可得.

所以，所以.

又因为点在椭圆上，

所以，即.

解得，故.

∴椭圆的方程为. -----------------4分

（Ⅱ）椭圆的左焦点为.

（ⅰ）当时，点的坐标为.

直线的斜率，所以.

直线的方程为，即.

而.

点到直线的距离.

所以面积. ----------------- 8分

（ⅱ）设直线方程为，，.

联立方程组，

消得，-----------------10分

由根与系数的关系可得，.

所以

所以

即

代入整理，

整理得. -----------------13分

所以直线的方程为，

所以直线总过定点. -----------------14分

【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质、直线和椭圆的位置关系、三角形面积的求解以及定点的探究性问题，意在考查基本的逻辑推理能力、运算能力和数学应用意识等.